Miniatury matematyczne 77 Wielokąty tangramy pole a podziały Bobiński Zbigniew Książka

W kolejnej miniaturze powracamy do rozważań związanych z polem figury. Nie będziemy badali wzorów na pola poszczególnych wielokątów. Problem ten jest trudny, między innymi ze względu na wczesny etap matematycznej nauki. Z tego powodu zajmiemy się porównywaniem pól wielokątów. Oczywiście nie będziemy zajmować się pogłębioną analizą samego pojęcia pola. Potraktujemy je w naturalnym i nieco intuicyjnym rozumieniu, tak jak to czyni się w trakcie początkowej nauki szkolnej matematyki. Zajmiemy się szczególnie polem wielokąta, głównie problemami wynikającymi ze słynnego twierdzenia Farkasa Bolyaia i Paula Gerwiena, które odkryli niezależnie w roku 1833.

Jeżeli dwa wielokąty mają równe pola, to zawsze można jeden w nich podzielić na skończoną liczbę takich wielokątów, aby z nich można było ułożyć drugi wielokąt.

Twierdzenie to pozwala porównywać pola wielokątów bez obliczania tych pól. Warto zauważyć, że aby stwierdzić, że dwa wielokąty mają równe pola, wystarczy podzielić każdy z tych wielokątów na mniejsze wielokąty, tak by każdy z tych podziałów miał tyle samo elementów i by każdy wielokąt jednego podziału można nałożyć na pewien wielokąt drugiego podziału, tak by się pokrywały i by te wielokąty w parach wyczerpywały wszystkie wielokąty w obydwu podziałach.

Oznacza to, iż wziąwszy na przykład kwadrat wraz z danym jego podziałem możemy opisywać wielokąty o tym samym polu, dla których istnieje podział złożony z takich samych wielokątów jak podział kwadratu. Czasami te problemy pojawiają się w zadaniach zabawowych, chociaż wcale technicznie niełatwych, przykładem takich problemów są tangramy Będziemy rozważać wielokąty, przeważnie w miarę proste, wraz
z ich podziałem i starać się będziemy opisywać wielokąty mające taki sam podział. Zwracamy uwagę na fakt, iż w początkowym etapie nauki matematyki przy wyprowadzaniu wzorów na pola nieco bardziej złożonych wielokątów korzystaliśmy z metody podziału takich wielokątów na mniejsze wielokąty i składaliśmy z nich wcześniej poznane wielokąty. Warto więc przećwiczyć tę metodę na bardziej skomplikowanych przykładach, tym bardziej że z podobnymi problemami spotykamy się na wielu konkursach matematycznych. Często układane wielokąty z elementów danego podziału przypominają figury lub postacie spotykane w innych sytuacjach – postacie zwierząt, litery, figury szachowe itp – wówczas nie podkreślamy tego, że budujemy wielokąty. Podobnie w odpowiedziach i w rozwiązaniach zadań nie staramy się za każdym razem zachowywać wymiarów poszczególnych elementów podziału, głównie zwracamy uwagę na kształt otrzymywanych wielokątów, chociaż powinniśmy budować wielokąty o danym polu W odpowiedziach i rozwiązaniach, szczególnie w rozdziałach II oraz III, często nie uzasadniamy poprawności odpowiedzi tzn. czy posiadają one żądane własności. Ograniczamy się tylko do manualnego sprawdzenia spełnienia warunków rozwiązania.

Na końcu miniatury dodajemy szereg kartek z umieszczonymi na nich wielokątami, które wcześniej spotkaliśmy w omawianych zadaniach Proponujemy Czytelnikowi sprawdzenie przy ich pomocy prawdziwości zamieszczonych odpowiedzi i być może poszukanie innych rozwiązań tych zadań.

Szczegółowe informacje na temat książki Miniatury matematyczne 77 Wielokąty tangramy pole a podziały

Metody dostawy

Typ wysyłki	Do 298,99 zł	Od 299,00 zł
Automat GLS Punkt GLS	7,99 zł	0,00 zł
Pocztex Punkt ORLEN Paczka DPD Pickup - Punkt odbioru Pocztex Automat DPD Pickup - Automat paczkowy	10,99 zł	0,00 zł
Kurier GLS	12,99 zł	0,00 zł
Pocztex - Kurier 48 Kurier - DPD InPost Kurier	14,99 zł	0,00 zł
InPost Paczkomat 24/7	14,99 zł	0,00 zł
Płatność przy odbiorze	+5 zł	+5 zł

Typ wysyłki Partnerskie punkty odbioru	do 29,98 zł	do 59,99 zł	od 60,00 zł
Gdańsk
Gdańsk – ul. Kartuska 195 A/12	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Gdańsk – ul. Obrońców Wybrzeża 3A lok U5A	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Bydgoszcz
Bydgoszcz – Jerzego Rupniewskiego 11	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Białystok
Białystok – ul. Legionowa 9/1/lok. 29	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Białystok – ul. Warszawska 79 lok. 6	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Częstochowa
Częstochowa – Fonte ul. Jasnogórska 48/1	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Częstochowa – ul. Michałowskiego 11/13	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Gdynia
Gdynia – ul. Krasickiego 10	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Gorzów Wielkopolski
Gorzów Wielkopolski – ul. Garbary 18	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Kraków
Kraków – Przejście podz. Rakowicka i Wita Stwosza	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Kraków – ul. Mitery 8 (obok Kalwaryjskiej)	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Kraków – Nowa Huta, Os. Teatralne 33a	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Kraków – ul. Urzędnicza 30/Lokal	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Kraków – ul. Witosa 39	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Olsztyn
Olsztyn – Punkt Partnerski WIN-CIN ul. Jagielończyka 38	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Poznań
Poznań – Głogowska 60	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Rzeszów
Rzeszów – ul. Podwisłocze 2B/3	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Wrocław
Wrocław – ul. Tęczowa 25	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Wrocław – Tadeusza Kościuszki 49	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Warszawa
Warszawa – ul. Ogrodowa 13/29	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Warszawa – al. Jana Pawła II 61/226	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Warszawa – al. Niepodległości 76/78/111	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Warszawa – ul. Ratuszowa 11	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Kłaj
Kłaj – KŁAJ 650/7	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Skawina
Skawina – Panattoni Park III, ul. Majdzika 15	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Lublin
Lublin – ul. Nadbystrzycka 39	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Łódź
Łódź – Plac Barlickiego BOKS 135	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł
Ząbki
Ząbki – ul. Hugona Kołłątaja 8A	5,99 zł	3,99 zł	0,00 zł